חורף 2026 – שאלה 1סדרות 472 · שיעור 27
חורף 2026, שאלה 1
חורף 2026 – שאלה 1
פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות
1נוסח השאלה
2סעיף א – כמה ספרים נמכרו ביום הראשון
3סעיף ב – סך ההכנסות ב־7 ימי היריד
4סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה
5סעיף ד – התרומה בשני החודשים האמצעיים
📄 נוסח השאלה
יריד ספרים ביישוב מסוים נמשך 7 ימים. כמות הספרים שנמכרו בכל יום ביריד הייתה גדולה פי 2 מכמות הספרים שנמכרו ביום שלפניו. ידוע כי בשלושת הימים הראשונים של היריד נמכרו 420 ספרים סך הכול.
א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.
כל ספר ביריד נמכר ב־50 שקלים.
ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך 7 ימי היריד.
📄 נוסח השאלה · המשך
לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פָּרַס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם 4,315 שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם 315 שקלים יותר מבחודש שלפניו.
ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.
ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.
סעיף א – כמה ספרים נמכרו ביום הראשון
כל יום נמכרו פי 2 ספרים מהיום שלפניו, ולכן מספרי הספרים בכל יום הם סדרה הנדסית עם מנה q = 2. נסמן ב־a1 את מספר הספרים ביום הראשון.
בשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים, כלומר S3 = 420:
S3 = a1(23 − 1)2 − 1
📐 סכום סדרה הנדסית
23 = 8 8 − 1 = 7 2 − 1 = 1
S3 = a1 · 71 = 7a1
7a1 = 420
📐 סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1
סעיף א – כמה ספרים נמכרו ביום הראשון · המשך
7a1 = 420
מחלקים את שני האגפים ב־7:
a1 = 4207 = 60
בדיקה: 60 + 120 + 240 = 420 ✓ (ביום השני 60 · 2 = 120, ביום השלישי 120 · 2 = 240)
✅ פתרון סופי: a1 = 60 ספרים ביום הראשון
סעיף ב – סך ההכנסות ב־7 ימי היריד
קודם נמצא כמה ספרים נמכרו בכל 7 הימים – זה הסכום S7 של הסדרה ההנדסית (a1 = 60 , q = 2 , n = 7):
S7 = 60 · (27 − 1)2 − 1
📐 סכום סדרה הנדסית
27 = 128 128 − 1 = 127
S7 = 60 · 1271 = 7,620 ספרים
כל ספר נמכר ב־50 שקלים, ולכן ההכנסות:
7,620 · 50 = 381,000
📐 הכנסה
📐 סכום סדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1
📐 הכנסה
מספר הספרים · מחיר לספר
סעיף ב – סך ההכנסות ב־7 ימי היריד · המשך
7,620 · 50 = 381,000
📐 הכנסה
✅ פתרון סופי: 381,000 שקלים
📐 הכנסה
מספר הספרים · מחיר לספר
סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה
התרומה היא מחצית מההכנסות:
381,0002 = 190,500 שקלים
התרומות החודשיות הן סדרה חשבונית: a1 = 4,315 , d = 315. מחפשים את מספר החודשים n שבו הסכום הוא Sn = 190,500.
190,500 = n2 · [2 · 4,315 + (n − 1) · 315]
📐 סכום סדרה חשבונית
2 · 4,315 = 8,630 (n − 1) · 315 = 315n − 315
190,500 = n2 · [8,630 + 315n − 315]
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה · המשך
190,500 = n2 · [8,630 + 315n − 315]
190,500 = n2 · [315n + 8,315]
כופלים את שני האגפים ב־2:
381,000 = n · (315n + 8,315)
381,000 = 315n2 + 8,315n
315n2 + 8,315n − 381,000 = 0
סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה · המשך
315n2 + 8,315n − 381,000 = 0
כל המקדמים מתחלקים ב־5, נחלק כדי לקבל מספרים קטנים יותר:
315 : 5 = 63 8,315 : 5 = 1,663 381,000 : 5 = 76,200
63n2 + 1,663n − 76,200 = 0
a = 63 , b = 1,663 , c = −76,200
מחשבים את הביטוי שבתוך השורש:
סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה · המשך
מחשבים את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = 1,6632 − 4 · 63 · (−76,200)
1,6632 = 2,765,569 4 · 63 · 76,200 = 19,202,400
2,765,569 + 19,202,400 = 21,967,969
√21,967,969 = 4,687
n1,2 = −1,663 ± 4,6872 · 63 = −1,663 ± 4,687126
📐 נוסחת השורשים
📐 נוסחת השורשים
n1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה · המשך
n1,2 = −1,663 ± 4,6872 · 63 = −1,663 ± 4,687126
📐 נוסחת השורשים
n1 = −1,663 + 4,687126 = 3,024126 = 24
n2 = −1,663 − 4,687126 = −6,350126 ≈ −50.4 – נפסל, מספר חודשים לא יכול להיות שלילי.
בדיקה: S24 = 242 · [8,630 + 23 · 315] = 12 · [8,630 + 7,245] = 12 · 15,875 = 190,500 ✓
📐 סכום סדרה חשבונית
✅ פתרון סופי: n = 24 חודשים
📐 נוסחת השורשים
n1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
סעיף ד – התרומה בשני החודשים האמצעיים
יש 24 חודשים – מספר זוגי, ולכן יש שני חודשים אמצעיים: החודש ה־12 והחודש ה־13 (לפני כל אחד מהם 11 חודשים ואחרי כל אחד מהם 11 חודשים).
a12 = 4,315 + (12 − 1) · 315 = 4,315 + 11 · 315
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
11 · 315 = 3,465 a12 = 4,315 + 3,465 = 7,780
a13 = 4,315 + (13 − 1) · 315 = 4,315 + 12 · 315
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
12 · 315 = 3,780 a13 = 4,315 + 3,780 = 8,095
a12 + a13 = 7,780 + 8,095 = 15,875
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ד – התרומה בשני החודשים האמצעיים · המשך
a12 + a13 = 7,780 + 8,095 = 15,875
בדיקה: בסדרה חשבונית סכום שני איברים שווי מרחק מהקצוות שווה: a1 + a24 = 4,315 + (4,315 + 23 · 315) = 4,315 + 11,560 = 15,875 ✓
✅ פתרון סופי: 15,875 שקלים
📌 סיכום התשובות
סעיף א
60 ספרים
סעיף ב
381,000 שקלים
סעיף ג
24 חודשים
סעיף ד
15,875 שקלים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא